Früheinstieg ins Mathematikstudium (FIMS)

Individuelle Auswahl der Vorlesungen

Je nachdem wie viel Zeit Dir für FiMS bleibt, kannst Du individuell entscheiden, wie viele der angebotenen Vorlesungen Du belegst. Im ersten Semester FiMS hast Du die Wahl zwischen den Vorlesungen

  • Grundlagen der Mathematik 1: Analysis,
  • Grundlagen der Mathematik 1: Lineare Algebra und
  • Algebraische Strukturen.

Diese sind im Mathematikstudium an der TUK für das erste Semester vorgesehen. In den weiteren Semestern können auch die jeweiligen Folgeveranstaltungen belegt werden: Grundlagen der Mathematik 2 baut auf den Grundlagen der Mathematik 1 auf, Elementare Zahlentheorie und Einführung in die Algebra sind mögliche Fortsetzungen zu den Algebraischen Strukturen.

Die meisten Vorlesungen werden in jedem Semester angeboten, die Elementare Zahlentheorie jedoch immer nur im Sommersemester und die Einführung in die Algebra immer nur im Wintersemester.

Diese Vorlesungen kannst Du bei FiMS belegen:
  • GdM 1: Analysis
  • GdM 1: Lineare Algebra
  • Algebraische Strukturen
  • Grundlagen der Mathematik 2
  • Elementare Zahlentheorie
  • Einführung in die Algebra

Vorlesungsinhalte

Damit Du Dich genauer mit den Vorlesungen beschäftigen kannst, findest Du hier nähere Informationen zu den Inhalten. Einiges wirst Du schon aus der Schule kennen, andere Begriffe werden Dir noch gar nichts sagen.

Die Angabe SWS (= Semesterwochenstunden) bezieht sich auf den Umfang der Vorlesung und gibt Dir einen Eindruck davon, dass Du für die unterschiedlichen Vorlesungen mit unterschiedlichen Zeitaufwänden rechnen musst. Eine Semesterwochenstunde entspricht 45 Minuten Vorlesung pro Woche im Präsenzstudium.

In dieser Vorlesung lernst Du den klassischen Analysis-Einstieg eines Mathematikstudiums kennen. Das Hauptthema hierbei ist die Differential- und Integralrechnung in einer Variablen. Dabei wird ein Großteil des Stoffs der Oberstufe wieder aufgegriffen und verallgemeinert. Vorwissen aus der Schule ist demnach von Vorteil, aber keine Voraussetzung, da alles von Grund auf aufgebaut wird.

Es werden die folgenden Themen behandelt:

  • Reelle und komplexe Zahlen
  • Folgen und Grenzwerte, Reihen, Potenzreihen
  • Elementare Funktionen
  • Stetigkeit und Differentiation im eindimensionalen Fall
  • Integration im eindimensionalen Fall

Falls Du ein Skript dazu anschauen möchtest, ist beispielsweise das Skript zur Vorlesung "Grundlagen der Mathematik 1 und 2" von Andreas Gathmann aus dem Sommersemester 2016 empfehlenswert. Dieses umfasst die Vorlesungen Grundlagen der Mathematik 1: Analysis, Grundlagen der Mathematik 1: Lineare Algebra und Grundlagen der Mathematik 2.

In dieser Vorlesung geht es hauptsächtlich um Vektorräume und Lineare Abbildungen. Auch hier wird ein Großteil des Stoffs der Oberstufe wieder aufgegriffen und verallgemeinert. Vorwissen aus der Schule ist demnach von Vorteil, aber keine Voraussetzung, da alles von Grund auf aufgebaut wird.

Es werden die folgenden Themen behandelt:

  • Vektorräume
  • Lineare Abbildungen
  • Matrizen
  • Lineare Gleichungssysteme

Falls Du ein Skript dazu anschauen möchtest, ist beispielsweise das Skript zur Vorlesung "Grundlagen der Mathematik 1 und 2" von Andreas Gathmann aus dem Sommersemester 2016 empfehlenswert. Dieses umfasst die Vorlesungen Grundlagen der Mathematik 1: Analysis, Grundlagen der Mathematik 1: Lineare Algebra und Grundlagen der Mathematik 2.

In dieser Vorlesung werden algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper eingeführt. Das Hauptaugenmerk der Veranstaltung (und insbesondere der Übungen) liegt dabei auf der Einführung in die Methodik der Mathematik und auf dem Erwerb der Fähigkeit, mathematische Sachverhalte klar und exakt darzustellen und logisch korrekt zu argumentieren. Auf Schulstoff wird nicht zurückgegriffen.

Es werden die folgenden Themen behandelt:

  • Algebraische Grundstrukturen: Gruppen, Ringe, Körper (insbes.: symmetrische Gruppe)
  • Unterstrukturen und Faktorstrukturen (insbes.: Normalteiler, Isomorphiesätze)
  • Hauptidealringe: Z, Polynomring K[t] (insbes.: euklidischer Algorithmus)

Falls Du ein Skript dazu anschauen möchtest, ist beispielsweise das Skript zur Vorlesung "Algebraische Strukturen" von Andreas Gathmann aus dem Wintersemester 2017/18 empfehlenswert.

Bei dieser Vorlesung handelt es sich um die direkte Fortsetzung der beiden Vorlesungen Grundlagen der Mathematik 1: Analysis und Grundlagen der Mathematik 1: Lineare Algebra. Im Vordergrund steht die Weiterführung der Linearen Algebra und die Verallgemeinerung der Differential- und Integralrechnung auf mehrere Variablen.

Es werden die folgenden Themen behandelt:

  • Metrische Räume 
  • Differentiation und Integration im mehrdimensionalen Fall
  • Geometrie des euklidischen Raumes 
  • Diagonalisierbarkeit, Hauptachsentransformation, Berechnung der Jordan-Normalform

In dieser Vorlesung werden sogenannte diophantische Gleichungen untersucht, d.h. Gleichungen, bei denen nach Lösungen in ganzen Zahlen gesucht wird. Ein Ziel der Vorlesung ist es z.B., ein Kriterium dafür zu entwickeln, wann sich eine natürliche Zahl als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt. Zur Lösung derartiger Probleme wird eine Reihe von Begriffen und Verfahren der klassischen Zahlentheorie eingeführt.

Aufbauend auf der Vorlesung Algebraische Strukturen werden folgende Themen behandelt:

  • Eindeutige Primfaktorzerlegung in Z, lineare diophantische Gleichungen
  • Eulersche phi-Funktion, Struktur von (Z/nZ)
  • Gaußsches Reziprozitätsgesetz
  • Quadratische Zahlkörper, Zerlegungsverhalten von Primzahlen, Summen von Quadraten

Dies ist die grundlegende Vorlesung im Bereich der Algebra, in der die in den Algebraischen Strukturen eingeführten Gruppen, Ringe und Körper genauer untersucht werden. Als Anwendung werden insbesondere die klassischen Probleme der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen sowie der Konstruierbarkeit geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal behandelt.

Aufbauend auf der Vorlesung Algebraische Strukturen werden folgende Themen behandelt:

  • Hauptidealringe, ZPE-Ringe
  • Gruppen, Operationen, Sylowsätze
  • Stamm- und Zerfällungskörper
  • Hauptsatz der Galoistheorie
  • Auflösbarkeit von Gleichungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
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